GPS in Teorija relativnosti

Danes je uporaba GPS navigacije nekaj popolnoma samoumevnega. GPS naprave uporabljamo že skorajda povsod kjer se je treba kakorkoli znajti v prostoru: pri orientaciji v hribih in na brezpotjih, v avtu, celo kot pripomoček za iskanje najbližje restavracije, trgovine. V zadnjem času pa je miniaturizacija dovolj napredovala da se GPS vgrajuje tudi v športne ure. GPS navigacija s temi urami pogosto povzroča uporabnikom največ težav. Vendar nikoli pa se ne vprašamo: “Kako GPS sistem sploh deluje?” Zanimivo je da se vsaj del odgovora na to vprašanje skriva v Einsteinovi teoriji relativnosti iz leta 1905.

Global_Positioning_System_satelliteGPS satelit

NAVSTAR GPS ali pogosteje samo GPS je ameriški vojaški navigacijski sistem, ki je bil razvit med hladno vojno z namenom da bi lahko natančno usmerjali medcelinske balistične rakete. Jedro sistema GPS predstavlja 24 satelitov (in nekaj rezervnih), ki krožijo v šestih orbitah na višini 20200 km, tako da vsak satelit Zemljo obkroži točno dvakrat dnevno. To mogoča da so na vsaki točki na Zemlji ob vsakem času vidni najmanj štirje sateliti. Lokacije satelitov v orbiti so znane na nekaj metrov natančno. Večja odstopanja bi že takoj povzročila nefunkcionalnost sistema. Orbite se dnevno rahlo spreminjajo zaradi vpliva sončevega vetra- zato je treba podatke korigirati.

Sistem GPS deluje v sami osnovi deluje na zelo preprost način, ki pa kot boste videli je v realnosti zaradi določenih faktorjev izredno zapleten. Vsi GPS sateliti oddajajo mikrovalovni signal, ki ga zaznavajo GPS sprejemniki (npr. v avtu). Razdaljo med GPS satelitom in sprejemnikom se preprosto izračuna iz časa, ki ga potrebuje mikrovalovni signal od satelita do sprejemnika. In ker so mikrovalovi del elektromagnetnega valovanja,  potujejo s svetlobno hitrostjo. Svetlobna hitrost je natančno definirana konstanta, ki znaša točno 299 792 458 m/s. Sekunda pa je definirana kot čas trajanja 9192631770 nihajev valovanja, ki ga odda atom cezija 133, med prehodom med dvema energijskima stanjema. In ker svetlobna hitrost potuje tako hitro, je za natančno določitev pozicije bistveno poznati zelo natančen čas. Za primer: svetloba v eni sami stotinki sekunde prepotuje  skorajda 3000 kilometrov! Zato nam GPS sistem, ki bi deloval na osnovi  športne štoparice ne bi prav nič koristil. Potrebne so izredno natančne ure. Edine ure, ki so dovolj natančne za uporabo v GPS sistemu so atomske ure. Atomske ure uporabljene v sistemu GPS so tako natančne da se zmotijo približno 0.000000002 sekunde na dan ali povedano drugače: ura se zmoti za eno samo sekundo v enem milijonu let! V resnici obstajajo atomske ure, ki so še bolj natančne in se zmotijo za eno sekundo v nekaj 10 milijonih let, a za enkrat še niso v uporabi v GPS sistemu. Vendar nam bodo za razumevanje besedila kasneje prišle še kako “prav”.

SPAC_GPS_NAVSTAR_IIA_IIR_IIF_Constellation_lg

Ozvezdje GPS satelitov v orbitah okoli Zemlje

Torej če povzamemo v goli osnovi GPS sistem deluje tako da izmeri drobceno razliko v času med prihodom signala od satelita do sprejemnika. GPS signal ni konstanten, ampak vsebuje kodo. In iz te kode GPS sprejemnik izračuna razliko v času potovanja mikrovalov.

atomic-clock_11451Atomska ura

Iz signala iz samo enega satelita se da izračunati samo razdaljo med satelitom in sprejemnikom. Za določitev položaja na Zemeljskem površju so potrebni najmanj štirje sateliti. Izračun pozicije je v osnovi zelo podoben, kot pri določevanju lokacije potresov, o čemer sem že pisal tule. Skratka signal se od vsakega satelita navzven širi v obliki sfere. In prostor kjer se sekajo sfere vseh satelitov v danem trenutku, je lokacija kjer se nahajamo. Več kot imamo satelitov, manjše je območje kjer se sekajo vse sfere in bolj natančna je določitev pozicije.

ghfghfg

Shematski  prikaz izračuna pozicije s pomočjo GPS sistema. Območje kjer se sekajo vse sfere je lokacija, kjer se nahajamo (zaradi poenostavitve so namesto sfer prikazani krogi). Časi med prihodom signala od satelitov do uporabnikov na Zemlji znašajo okoli 0.067 sekunde.

Torej vse deluje na preciznem merjenju časa. Na napako pri GPS pozicioniranju pa vplivajo še nekatere presenetljive stvari. Prva je sončev veter, na katerega ne moremo vplivati. Sončev veter povzroča da Zemljina ionosfera dobi obliko “kometovega repa”. GPS signal pa se lomi v ionosferi. In če se ionosfera nenehno spreminja, bo to pomenilo da bo GPS signal do sprejemnika potreboval nekoliko manj ali  dlje časa kot običajno, kar povzroča napako pozicije. Zato GPS običajno deluje nekoliko slabše v obdobjih kadar je Sončeva aktivnost velika oz. je v sončevi fotosferi prisotnih veliko sončevih peg.

IonosphereZemljina magnetosfera in ionosfera sta zaradi vpliva Sončevega vetra raztegnjeni v obliki kometovega repa

GPS slabše deluje tudi v gozdu, med hišami ali v grapah, ker se signal bodisi zgublja bodisi potuje po nekoliko daljši poti. Nikoli pa navadni GPS ne more biti točen na bolj kot na 13 metrov. Kar položite vas GPS na tla in ga prižgite za nekaj ur. Videli boste da bo GPS narisal krog oz. elipso s polmerom ca. 15 metrov. V resnici je z dražjimi – geodetskimi GPS-i mogoče doseči centimetrsko ali milimetrsko natančnost. Take naprave stanejo od nekaj 1000 do nekaj 10000 € in so prevelike, predrage in prezapletene da bi bile praktične za običajnega uporabnika. Te naprave delujejo tako da so povezane z neko nadzorno bazno postajo, ki ima (na milimeter!) natančno geodetsko izmerjeno lokacijo. V teh bazah nenehno primerjajo njihovo realno pozicijo s pozicijo, ki jo je trenutni izmeril GPS sistem. Na podlagi tega uporabnikom v okolici (proti plačilu naročnine seveda) sporočajo popravke o GPS lokaciji. Pri nas je komercialno dostopno omrežje SIGNAL.

Vendar kljub vsemu GPS sistem ne bi bil praktično uporaben, če ne bile vanj vključene in upoštevane, ideje do katerih je sam zgolj na papirju, prišel nek modrec že davnega leta 1905. Seveda gre za slavnega Alberta Einsteina in njegovo teorijo relativnosti. Einsteinove ideje,  zapisane v enačbah o teoriji relativnosti, so bile v začetku 20. stoletja sprejete s precejšnim neodobravanjem. V tistem času Einsteinovih napovedi ni bilo mogoče niti preveriti, saj eksperimentalna znanost še ni bila dovolj razvita da bi lahko izmerila majcene deviacije. Danes pa GPS sistem ne bi deloval pravilno, če ne bi upošteval Einsteinovih enačb. Torej če ne bi že kdo prej (Einstein) odkril teorije relativnosti, bi jo prav gotovo odkrili, takoj ko bi vzpostavili sistem GPS in bi spoznali da ne deluje. Za kaj torej gre?

Einstein je v teoriji relativnosti napovedal da sta prostor in čas neločljivo povezana. Svetlobo pa je vpeljal kot konstanto, od katere ni nič hitrejše. Svetlobne hitrosti c ni mogoče doseči zato, ker bi po slavni enačbi E=mc² potrebovali neskončno količino energije da bi dosegli svetlobno hitrost. Einstein je spoznal da sta energija in masa pravzaprav ena in ista stvar. Če vemo da je celotna letna svetovna poraba energije 474*10^18 J. Potem po Einsteinovi enačbi lahko izračunamo da bi za takšno količino energije potrebovali le 5266 kg mase – npr. vode, ki jo je povsod v izobilju. Zakaj to ne deluje – zakaj ne pridobivamo energijo iz vode, če je v vodi spravljena takšna količina energije? Znanstveniki v zadnjih desetletjih poskušajo doseči ravno to. Vendar da proces (fuzija) poteče potrebujemo temperaturo takšne kot so v središču zvezde – vsaj nekaj milijonov stopinj Celzija. Znanstvenikom je že uspelo pridobiti energijo, vendar so bili za enkrat vložki energije vedno večji od pridobljene energije. Poleg tega jim še ni uspelo da bi reakcija potekla dovolj dolgo.

Naslednja pomembna Einsteinova napoved je bila da absolutni čas ne obstaja. Prav vsak od 10^80 atomov v Vesolju ima drugačen čas, ki teče z drugačno hitrostjo. In iz tega sledi naslednji pojav: hitreje kot se gibljemo, počasneje teče čas oz. se ta dokončno ustavi ko dosežemo svetlobno hitrost. Skrajšanje časa pri dani hitrosti se izračuna po naslednji enačbi:

         Δt′=t2′-t1′=Δt/√(1-(v²/c²))

kjer je Δt′  skrajšanje/podaljšanje časa, Δt razlika v pretečenem času, v hitrost potovanja in c svetlobna hitrost. Enačba nam pove da so spremembe pri majhnih “Zemeljskih” hitrostih- npr. hitrosti potovanja avtomobila zanemarljivo majhne. Pri “vesoljskih” hitrostih pa zadevo niso več neznatno majhne. Astronavt, ki preživi pol leta na Mednarodni vesoljski postaji, potuje pol leta s hitrostjo 7700 m/s. To pomeni da se mu skrajša čas v primerjavi z ljudmi na Zemlji  za 0.02 sekunde. To pravzaprav pomeni da astronavti med bivanjem na ISS odpotujejo za dve stotinski sekunde v prihodnost. In isto kar velja za astronavte, velja tudi za GPS satelite. GPS sateliti krožijo v svojih orbitah s hitrostjo 3900 m/s.  Zaradi efekta relativnosti vsak dan ure na GPS satelitih za 0.000007 sekunde zaostanejo za urami na Zemlji. To se sliši malo, ampak brez upoštevanja te napake, bi dnevna napaka v poziciji znašala kar 2.1 kilometra na dan oz. 1.5 m na minuto [s=c*t=3*10^8 m/s * 7*10^-6 s = 2100 m / 24 h].

ab2218Masivna jata galaksij Abell 1689 je povzročila gravitacijsko mikrolečenje, oddaljene galaksije, ki je vidna razmazana v obliki kroga. Foto : HST

To pa niti ni vse. Teorija relativnosti napoveduje tudi da se čas v bližini masivnega telesa upočasni in se v bližini neskončno masivnega telesa popolnoma ustavi. Masivno telo pa ne povzroči samo da se čas upočasni, ampak da se ukrivi prostor-čas.  Posledica je da se svetloba, ki potuje mimo masivnega telesa ukrivi, podobno kot bi potovala skozi lečo. In te efekte gravitacijskega lečenja, je že večkrat uspešno posnel Hubblov vesoljski teleskop. In eno takih takih masivnih teles je tudi naša Zemlja. Masa Zemlje znaša 5.979* 10^24 kg, kar je zanemarljivo malo z maso Sonca (1,989*10^30 kg). Vendar je dovolj da Zemlja povzroča (z atomskimi urami) zaznavno upočasnitev časa. Upočasnitev časa pa  se seveda zmanjšuje z oddaljenostjo od masivnega telesa. Tako se vaše noge nekoliko počasneje starajo, kot vaša glava. Mnogi bodo v šali priznali da je to res. Vendar so s preciznimi atomskimi urami, v resnici to že uspeli izmeriti!

GPS sateliti krožijo na višini 20200 km, kar pomeni da se starajo hitreje od nas. Torej se GPS sateliti istočasno starajo nekoliko počasneje od nas, ker se gibljejo hitreje in se hkrati nekoliko hitreje starajo, ker so bolj stran od središča Zemlje. Torej si oba relativistična efekta nasprotujeta in se med seboj odštevata. Sedaj vam pa dam sekundo časa, preden preberete ta stavek do konca, da sami razmislite kateri izmed obeh efektov prevlada oz. ima večji učinek na čas GPS satelitov.

05067C5AMasivno telo (npr. Zemlja) povzroči da se prostor-čas v okolici telesa ukrivi, kar povzroči uklanjanje svetlobe ter upočasnitev časa

V resnici v primeru GPS satelitov močno prevlada efekt oddaljenosti od masivnega telesa. Prej sem vam omenil da se zaradi relativističnega efekta hitrosti GPS satelitom čas dnevno skrajša za 0.000007 sekunde. Vpliv Zemljine mase pa podaljša čas dnevno za 0.000045 sekunde. Torej se zaenkrat še vedno bolj splača živeti na Zemlji, saj ste na ta način vsak dan “kar” za 0.000038 sekunde mlajši od GPS satelitov. Neupoštevanje vpliva Zemljine mase oz. gravitacije pa bi na dan GPS sistemu prineslo kar 13.5 km napake oz. 9.4 m napake na minuto!

V resnici tudi to še niso vsi nenavadni pojavi vpeljani v teoriji relativnosti. Na primer pri hitrostih, ki se približujejo svetlobni, se razdalje skrajšajo. Enačba, ki opisuje t.i. Lorentzovo skrčitev razdalje ΔL′=L/√(1-(v²/c²)), je pravzaprav enaka kot pri efektu podaljšanja časa. Vendar naj bo za enkrat to dovolj o teoriji relativnosti. Le toliko da ko boste naslednjič uporabili vašega “Garminčka”, vedeli kako nenaveden in težko razumljiv je pravzaprav naš svet.

Viri za tiste, ki bi radi več računali: 

Veliko užitkov v računanju relativističnih efektov in lep pozdrav,

Bojan Ambrožič

7 comments

Submit a comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Komentirate prijavljeni s svojim WordPress.com računom. Odjava / Spremeni )

Twitter picture

Komentirate prijavljeni s svojim Twitter računom. Odjava / Spremeni )

Facebook photo

Komentirate prijavljeni s svojim Facebook računom. Odjava / Spremeni )

Google+ photo

Komentirate prijavljeni s svojim Google+ računom. Odjava / Spremeni )

Connecting to %s